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누름 변환

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r = 3/2 누름 변환

선형 대수학에서, 누름 변환(package.lua 80번째 줄에서 Lua 오류: module 'Module:Langname/data' not found.: squeeze mapping)은 직교 좌표계에서 영역의 유클리드 면적을 보존하지만 전단 변환이나 회전아닌 선형 변환이다.

양의 실수인 상수 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.a에 대해서, 다음의 변환은 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.a를 가지는 누름 변환이다.

아래가 쌍곡선이기 때문에, 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.u = ax이고 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.v = y/a이면 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.uv = xy이고 누름 변환의 이미지에 있는 점은 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.(x,y)와 같은 쌍곡선에 있다.

이 때문에, 1914년에 에밀 보렐이 원을 보존하는 원형 회전에서 유추하였던 것처럼 누름 변환을 쌍곡 회전으로 생각하는 것이 자연스럽다.[1]

로그와 쌍곡선각[편집]

누름 변환은 로그의 개념의 발전 배경을 설정한다. (틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.xy = 1와 같은)쌍곡선을 경계로 갖는 영역의 면적을 찾는 문제는 구적법 중 하나이다. 그레고이르 드 세인트 빈센트(Grégoire de Saint-Vincent)와 알퐁스 안토니오 드 사라사(Alphonse Antonio de Sarasa)가 1647년에 발견한 해법은 새로운 개념인 자연로그 함수를 얻었다. 일부는 면적을 보존하는 누름 변환을 적용한 쌍곡선 영역을 통해서 로그를 얻었다. 쌍곡선 영역의 면적은 영역과 연관된 쌍곡선각의 측정으로 계산할 수 있다. 쌍곡선각 개념은 일반적인 원형 각과는 꽤 무관하나, 같은 불변성을 가진다: 원형 각은 회전에 대해서 불변이지만, 쌍곡선각은 누름변환에 대해서 불변이다. 원형 각과 쌍곡선각은 둘 다 불변 측도를 만들지만, 다른 변환군에 대한 불변측도이다. 쌍곡선각을 매개변수로 받는 쌍곡선 함수삼각함수가 원형 각 매개변수에 대해서 하는 것과 같은 역할을 한다.[2]

군론[편집]

누름 변환은 한 보라색 쌍곡선 영역을 같은 면적의 다른 영역으로 이동시킨다.
또한 파란색과 초록색 직사각형을 누른다.

틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.r틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.s가 양의 실수일 경우, 그 누름 변환의 합성은 그 곱의 누름 변환이다. 따라서, 누름 변환의 모임은 양의 실수곱셈군에 동형인 단일매개변수군을 만든다. 이 군에 대한 추가적인 견해는 쌍곡선 영역과 그 쌍곡선각에 대한 고려로 부터 나왔다.

고전군의 관점에서 볼 때, 누름 변환의 군은 이차 형식 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.u2v2을 보존하는 2 × 2 실행렬부정직교군특성 성분 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO+(1,1)이다. 이것은 아래의 기저변환을 통한 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.xy를 보존하는 것과 동등하고 기하학적으로 쌍곡선을 보존하는것에 대응한다.

누름 변환의 군을 쌍곡선 회전으로 보는 관점은 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO(2)군(정의된 직교군의 연결 원소)을 이차 형식 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.x2 + y2을 보존하는 것을 원형 회전으로 해석하는 것과 유사하다.

"틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO+" 표기는 아래의 반사가 비록 형식(틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.x틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.y를 사용하면 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.xy, yx틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.x ↦ −x, y ↦ −y이다)을 보존하지만 허용되지 않는 것에 대응한다는 점을 주목하라:

(원형의 경우와 대조되는)쌍곡선의 경우 "틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.+"가 추가되는 것은 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.O(2)군에는 연결 성분이 2개가 있는 반면, 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.O(1,1)군은 연결 성분이 4개가 있기 때문에(틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO(2)는 성분이 1개 뿐인 반면, 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO(1,1)은 성분이 2개가 있다) 특성 성분를 특정해야 하므로 중요하다. 누름 변환은 면적과 원점을 보존하는 사실은 면적과 원점(부피 형식)을 보존하는 변환의 특수선형군에서 쌍곡 회전의 부분군에서의 부분군의 포함 관계틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO ⊂ SL(이 경우에는 틀:수학/style.css 문서에 내용이 없습니다.SO(1,1) ⊂ SL(2))에 대응한다. 뫼비우스 변형에서 볼 때, 누름 변환은 원소의 구분에서 쌍곡 성분이다.

적용[편집]

선형 대수학 연구에서, 특이값 분해의 도식이나 2 × 2 실행렬의 구조에서 누름 변환의 중요한 역할과 같은 순수 추상 적용이 있다. 이 적용들은 두 물리적, 철학적 적용과 비교하면 다소 개성적이지 않다.

모퉁이 흐름[편집]

유체역학에서, 비압축성 유동의 기본 움직임 중 하나는 움직이지 않는 벽으로 흐르는 흐름의 분기에 관여한다. 벽을 y = 0의 축으로 나타내고 시간 t에 대한 매개변수 r = exp(t)을 받을 때, 초기 유체 상태에서 매개변수 r에 대한 누름 변환을 가하면 x = 0의 축의 왼쪽과 오른쪽으로 분기가 있는 흐름을 만든다. 같은 모델에서 시간이 거꾸로 흐르면 유체 수렴이 나타난다. 쌍곡선 영역면적은 누름 변환에 대해서 불변이다.

쌍곡선 유선 흐름에 대한 다른 접근은, 스크립트 오류: "Section link" 모듈이 없습니다..

1989년에 Ottino[3]는 "선형 등적 이차원 흐름"(linear isochoric two-dimensional flow)을 다음과 같이 설명했다

이 때, K는 구간 [−1, 1]에 있다. 유선은 다음의 곡선을 따른다:

이 때, 음의 K타원에 대응하고, 양의 K는 쌍곡선에 대응하며, 누름 변환의 직사각형 경우는 K = 1에 대응한다.

Stocker와 Hosoi[4] 는 모퉁이 흐름에 대한 자신들의 접근을 다음과 같이 설명했다:

우리는 쌍곡 좌표계의 사용에 기반한 we suggest an alternative formulation to account for the corner-like geometry, based on the use of hyperbolic coordinates, which allows substantial analytical progress towards determination of the flow in a Plateau border and attached liquid threads. We consider a region of flow forming an angle of π/2 and delimited on the left and bottom by symmetry planes.

Stocker와 Hosoi는 그 다음 Moffatt[5]의 "flow in a corner between rigid boundaries, induced by an arbitrary disturbance at a large distance"에 대한 생각을 기억했다. Stocker와 Hosoi에 따르면,

For a free fluid in a square corner, Moffatt's (antisymmetric) stream function ... [indicates] that hyperbolic coordinates are indeed the natural choice to describe these flows.

Relativistic spacetime[편집]

Select (0,0) for a "here and now" in a spacetime. Light radiant left and right through this central event tracks two lines in the spacetime, lines that can be used to give coordinates to events away from (0,0). Trajectories of lesser velocity track closer to the original timeline (0,t). Any such velocity can be viewed as a zero velocity under a squeeze mapping called a Lorentz boost. This insight follows from a study of split-complex number multiplications and the diagonal basis which corresponds to the pair of light lines. Formally, a squeeze preserves the hyperbolic metric expressed in the form xy; in a different coordinate system. This application in the theory of relativity was noted in 1912 by Wilson and Lewis,[6] by Werner Greub,[7] and by Louis Kauffman.[8] Furthermore, Wolfgang Rindler, in his popular textbook on relativity, used the squeeze mapping form of Lorentz transformations in his demonstration of their characteristic property.[9]

The term squeeze transformation was used in this context in an article connecting the Lorentz group with Jones calculus in optics.[10]

Bridge to transcendentals[편집]

The area-preserving property of squeeze mapping has an application in setting the foundation of the transcendental functions natural logarithm and its inverse the exponential function:

Definition: Sector(a,b) is the hyperbolic sector obtained with central rays to (a, 1/a) and (b, 1/b).

Lemma: If bc = ad, then there is a squeeze mapping that moves the sector(a,b) to sector(c,d).

Proof: Take parameter r = c/a so that (u,v) = (rx, y/r) takes (a, 1/a) to (c, 1/c) and (b, 1/b) to (d, 1/d).

Theorem (Gregoire de Saint-Vincent 1647) If bc = ad, then the quadrature of the hyperbola xy = 1 against the asymptote has equal areas between a and b compared to between c and d.

Proof: An argument adding and subtracting triangles of area ½, one triangle being {(0,0), (0,1), (1,1)}, shows the hyperbolic sector area is equal to the area along the asymptote. The theorem then follows from the lemma.

Theorem (Alphonse Antonio de Sarasa 1649) As area measured against the asymptote increases in arithmetic progression, the projections upon the asymptote increase in geometric sequence. Thus the areas form logarithms of the asymptote index.

For instance, for a standard position angle which runs from (1, 1) to (x, 1/x), one may ask "When is the hyperbolic angle equal to one?" The answer is the transcendental number x = e.

A squeeze with r = e moves the unit angle to one between (e, 1/e) and (ee, 1/ee) which subtends a sector also of area one. The geometric progression

e, e2, e3, ..., en, ...

corresponds to the asymptotic index achieved with each sum of areas

1,2,3, ..., n,...

which is a proto-typical arithmetic progression A + nd where A = 0 and d = 1 .

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Émile Borel (1914) Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques, page 29, Gauthier-Villars, link from Cornell University Historical Math Monographs
  2. Mellen W. Haskell (1895) On the introduction of the notion of hyperbolic functions Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9,particularly equation 12, page 159
  3. J. M. Ottino (1989) The Kinematics of Mixing: stretching, chaos, transport, page 29, Cambridge University Press
  4. Roman Stocker & A.E. Hosoi (2004) "Corner flow in free liquid films", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88
  5. H.K. Moffatt (1964) "Viscous and resistive eddies near a sharp corner", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18
  6. Edwin Bidwell Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The space-time manifold of relativity. The non-Euclidean geometry of mechanics and electromagnetics", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, footnote p. 401
  7. W. H. Greub (1967) Linear Algebra, Springer-Verlag. See pages 272 to 274
  8. Louis Kauffman (1985) "Transformations in Special Relativity", International Journal of Theoretical Physics 24:223–36
  9. Wolfgang Rindler, Essential Relativity, equation 29.5 on page 45 of the 1969 edition, or equation 2.17 on page 37 of the 1977 edition, or equation 2.16 on page 52 of the 2001 edition
  10. Daesoo Han, Young Suh Kim & Marilyn E. Noz (1997) "Jones-matrix formalism as a representation of the Lorentz group", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8
  • HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited, Chapter 4 Transformations, A genealogy of transformation.
  • P. S. Modenov and A. S. Parkhomenko (1965) Geometric Transformations, volume one. See pages 104 to 106.
  • 스크립트 오류: "citation/CS1" 모듈이 없습니다.(see page 9 of e-link)


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