경제수학

경제수학(: mathematics for economics)은

경제학을 비롯한 사회과학에서 수학을 이용하는 것은 상당한 이점을 제공한다. 경제학에서 이용되는 개념은 수량화될 수 있을 뿐만 아니라 경제학에서 사용되는 변수는 수가 많아지면 언어나 도형으로 제시할 수 없어지기 때문이다. 이때 수량화와 변수에 대한 수학적 이용은 경제학에 대한 분석을 용이하게 한다.

일반적으로 수학에서 우리는 어떤 문제를 증명할 수 있는 것과 그렇지 않은 것으로 구분했었다. 이때 증명할 수 없는 것은 아직 증명할 수 없다는 것을 뜻했다. 하지만 쿠르트 괴델은 이러한 일반적인 믿음에 대해 의문을 남겼다. 쿠르트 괴델은 1931년 불완전성 정리를 통해 주어진 체계에서 그러한 믿음은 결정 불가능(undicidable)하다고 증명했다. 불완정성 정리는 수학이 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리이다.

내용

논리와 집합

명제

파일:여자는 아름답다의 대우는.png

'여자는 아름답다'라는 문장은 명제가 될 수 없으므로 이에 대한 대우도 명제의 참 거짓을 따질 수 없다.

참인지 거짓인지 판별할 수 있는 진술 또는 주장을 명제라 한다. 경제학 저서에서 자주 사용되어 온 명제는 케니스 파슨스(Kenneth Parsons)가 말한 것처럼 경제학을 구성하는 일련의 합으로 묘사되기도 했으며 이들 명제를 이용한 추론에 대해선 찰링 코프만스에 의해 추론과 해석의 집합으로 정의되기도 했다. 밀턴 프리드먼은 그의 글에서 경제학의 근간은 논리학이며 경제학에 대해선 대수학이거나 논리적이라고 말하며 논리학을 어느 정도 활용한 것으로 보기도 했다. 레옹 발라는 그의 논문에서 경제학자보다 많은 경제학적 아이디어을 조직하고 방법을 제공하게 해주는 존재는 논리학자밖에 없다고 말하면서도 경제학자도 아이디어를 조직하는 것이 필요하다면서 논리학을 경제학의 언어라고 주장하기도 했다.

명제는 간단히 $p$로 표시하는데 이는 영어 proposition의 줄임말이다. 단문으로 이뤄진 명제를 단순명제라 하며 명제가 두 개 이상 결합된 것을 복합명제 또는 합성명제라고 한다. 복합명제에 대한 참과 거짓은 그 명제를 구성하는 개별 명제들의 참과 거짓을 근거로 판단한다. 복합명제를 표현하는 기호는 다음과 같다.

$\urcorner$ : ~가 아닌

$\lor$ : 또는 (논리합)

$\land$ : 그리고, ~이고 (논리곱)

$\Rightarrow$ : 만약 ~라면 -이다, ~이면 -이다. (조건문)

$\Leftrightarrow$ : ~이며 -이다. (논리적으로 동치)

여기서 논리합의 경우 문맥에 따라 비배타적 논리합(inclusive or) 배타적 논리합(exclusive or)으로 나뉜다. 전자는 $p$와 $q$ 모두를 의미하고, 후자는 $p$와 $q$ 중 하나를 가리키는 것을 의미한다. 논리곱은 $p$와 $q$가 모두 참이어야 명제가 참이되며 조건문 $p$는 가정, $q$을 결론이라고 한다. 이때 명제 $p\Rightarrow q$는 $p$가 성립하는 경우에만 $q$가 사실이라고 주장하는 것으로, $p\Rightarrow q$라고 해서 $p$가 성립하지 않으므로 $q$가 성립하지 않는다고 하는 것은 논리적 오류이다. 즉, $p$가 사실이 아닌 경우에 대해서는 어떠한 주장도 하고 있지 않은 것이다. 물론 일상생활에서는 이런 엄밀한 의미의 논리를 적용하진 않는 것을 종종 볼 수 있다.

인간이 동물이라는 건 참이다. 동물은 인간이기 위해 필요한 조건이지만 인간이기 위해 충분하지 않다.

조건문 $p\Rightarrow q$는 $p$가 $q$이기 위한 충분조건 또는 $q$는 $p$이기 위한 필요조건이라고 할 수 있으며 충분조건(sufficient condition)과 필요조건(neccessary condition)이 모두 성립할 때 필요충분조건이라고 한다. 여기서 필요조건은 $q$가 성립하기 위해선 $p$가 반드시 필요한 경우, $q$가 성립하지 않으면 절대로 $p$가 성립하지 않는 경우를 말한다.

명제 $p\Leftarrow q$를 $p\Rightarrow q$에 대한 역이라고 하는데 $p\Rightarrow q$가 참이라고 해도 역또한 참이라고 할 순 없다. 물론 역 또한 성립하는 경우도 있으나 $p\Rightarrow q$의 참이 $p\Leftarrow q$를 판단하는 어떠한 근거도 될 수 없다. 역 또한 성립하는 경우를 논리적으로 동치라고 부르며 $p\Leftrightarrow q$라고 표기한다.

많은 명제들은 어떤 가정하에 결론을 주장한다. 이때 드 모르간 법칙와 대우은 명제를 증명할 때 유용하게 사용된다. 명제 $p\Rightarrow q$를 증명하기 위해 $p$를 가정하고 연역적 추론을 통해 $q$가 성립함을 밝히는 것을 직접 증명이라 한다. 하지만 직접 증명을 사용하는 것보다 간접 증명을 사용하는 것이 편리할 때가 종종 있다. 이때 간접증명이란 연역적 방법을 사용하지 않고 증명하는 것을 뜻한다. 먼저 드 모르간 법칙처럼 명제를 먼저 부정하고 연역적 추론을 통해 항상 모순이라는 것을 밝혀내는 것이 간접증명의 한 방법이다. 다른 방법인 대우는 결론을 먼저 부정하고 가정에 대한 부정을 밝힘으로써 가정과 결론이 참이라는 것을 밝혀내는 것이다. 그 예는 다음과 같다.

대우 증명을 이용하는 것 말고도 반례 증명과 구성적 증명, 수학적 귀납법이라는 간접 증명법이 존재한다. 간접증명이란 연역적 방법을 사용하지 않고 증명하는 것을 말한다. 먼저 반례 증명은 반례를 제시하고 이것이 틀림을 증명함으로써 증명하는 것을 말한다. 구성적 증명은 특정한 값이 있음을 증명하는 것을 말하며 수학적 귀납법은 여러 가지 명제를 들어 귀납적으로 추론하여 그 사실이 맞다고 증명하는 것이다.

집합

성격이 명확한 대상을 모아 놓은 것을 집합이라고 하며 집합을 구성하는 대상 또는 요소를 그 집합의 원소라고 한다. 집합의 여부는 그 집합에 어떤 성질에 따라 구별할 수 있는 대상의 모임을 집합이라 한다. 집합이론을 경제학 분석에서 사용하게 된 결정적인 계기는 수학자 존 폰 노이만이 제공했다. 집합의 기본 공리체계를 제공하기도 했던 그는 1932년 프린스턴 대학교의 수학 세미나에서 논문을 발표했다. 이 논문은 6년 후에 독일어로 출판 되었으며 1945년에는 <A Model of General Economic Equilibrium>란 이름을 달고 영어로 공개되었다. 폰 노이만이 제시한 모형은 규모에 대한 보상을 가정하고 모든 투입은 미래의 생산에 도움이 된다는 것을 설명한 논문이었는데, 여기서 그는 볼록 집합의 속성을 이용했다.

집합을 정의하는 방법에는 모든 원소를 일일이 나열하는 원소나열법과 원소가 만족해야 할 성질을 밝히는 조건제시법이 있는데 이 중 조건제시법이 가장 일반적이다. 이 중 원소의 개수가 정해져 있는 집합을 유한집합, 원소의 개수를 특정할 수 없는 집합을 무한집합이라고 한다.35 무한집합의 예는 다음과 같은데, 기호 $\forall$는 모든이란 뜻을 가지고 있으며 $\mathbb {R}$는 실수의 집합이다. 일반적으로 오해의 소지가 없을 때는 두 번째와 같이 표기한다.

$\forall x\in \mathbb {R} ,p(x)$

$\forall x,p(x)$

어떤 $x$에 대해서 $p(x)$가 성립한다고 할 때 이를 기호로 나타내면 다음과 같다. $s.t.$는 such that의 약자이다.

$\exists x\in \mathbb {R} ,s.t.p(x)$

$\exists x,s.t.p(x)$

집합을 나타내는 기호는 다음과 같다.

${\overline {S}}$ : 집합 $S$의 여집합

$S\setminus T$ : 집합 $S$의 $T$에 대한 차집합

$\varnothing$ : 공집합

${\mathcal {\wp }}(S)$ : 멱집합

$\bigcup _{i}A_{i}=S$ : 분할, 여러 집합의 곱집합

$\bigcap _{i}A_{i}=S$ : 여러 집합의 합집합

$S\times T=\{(x,y)\mid x\in S,y\in T\}$ : 데카르트곱, 순서쌍

여집합은 어떤 집합을 제외한 모든 부분을 뜻하며 차집합은 집합 $S$에서 ${\overline {T}}$에 해당되는 부분, 즉 집합 $S$에서 $T$를 뺀 부분이다. 공집합은 아무 것도 없는 집합, 멱집합은 모든 부분집합의 총 집합이다. 멱집합의 원소의 갯수는 경우의 수에 따라 원소 하나를 있거나 없거나 둘 중 하나로 설명되기 때문에 2를 원소 갯수만큼 제곱한 것과 같다. 데카르트곱은 집합의 원소를 2차원 좌표 상에 나타낸 것이다. 이를 이용해 집합에도 적용되는 드 모르간 법칙을 나타내면 다음과 같다.

${\overline {S\cup T}}={\overline {S}}\cap {\overline {T}}$

함수

함수의 대응관계와 역함수

산타클로스(함수)는 한 아이에게 두 개의 선물을 줄 수는 있다. 하나의 선물을 두 명에게 주는 것은 산타클로스가 하는 기능이 아니다.

함수는 2개의 변수가 모두 실수라고 가정한다.($x\in \mathbb {R}$, $y\in \mathbb {R}$) 이때 $x$를 독립변수, $y$를 종속변수라고 한다. 독립변수 $x$가 하나의 실수값만을 나타낼 때에는 일변수함수라고 부르고 독립변수가 여러 개인 함수를 다변수함수라고 부르는데 이렇게 나누는 이유는 일변수함수가 수학적 분석을 위한 쉬운 특성을 가지기 때문이다. 특히 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$와 같은 함수를 다항함수라고 부른다. ${\frac {f(x)}{g(x)}}$의 형태로 표현되는 함수를 유리함수라 하는데, 이때 $g(x)=0$을 만족하는 $x$값은 정의역이 될 수 없다. 왜냐하면 분모를 이루는 $g(x)$가 $0$될 경우 분수의 분모가 $0$이 되지 않아야 한다는 공리를 위반하기 때문이다.

$f:A\rightarrow B$라고 할 때, $f(x_{1})=f(x_{2})$가 $x_{1}=x_{2}$를 의미하면 $f$를 $A$에서 $B$로의 일대일 함수 또는 단사함수(injection)라고 부르며 $f$의 치역이 $B$와 동일하면 전사함수(surjection)라고 한다. 단사함수인 동시에 전사함수이면 쌍사함수(bijection) 또는 일대일 대응(one-to-one correspondence)이라고 한다. $f:A\rightarrow B$가 쌍사함수일 때에는 $B$에서 $A$로의 역함수를 도출할 수 있다.

지수함수와 로그함수

어떤 양 $A$가 $a>0$만큼 증가한다면 지수함수는 다음과 같이 정의되는 함수를 말한다. 여기서 $a$는 밑이라고 하며 증가하는 배율을 의미한다.

$f(t)=Aa^{t}$

자연지수함수와 자연로그함수의 역함수 관계

밑이 $e$인 지수함수 $f(t)=e^{t}$를 자연지수함수라고 부르는데, 여기서 자연지수 $e$는 $t=0$에서 지수함수의 기울기가 1이 되도록 하는 지수이다. 자연지수를 나타내는 $e$는 자연지수의 특성을 알아내기 위해 일생을 바쳤던 레온하르트 오일러의 이름을 따 지어졌다. 물론 로그를 만든 존 네이피어가 오일러보다 한 세기 전에 로그함수를 개발했다. 자연지수 $e$의 값은 경제학적 분석에서 밑으로 자주 이용되는데 여기에는 자연 성장률(natural growth rate)과 같은 상황을 포함하며 수학에서는 원주율을 제외한 무리수에서 이용된다.

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

초기의 값이 일정하게 $a>1$의 배율로 증가할 때, 초기의 값이 두 배가 되는 시간을 구하려면 $a^{t}=2$를 $t$에 대해 풀어서 구해야 한다는 문제가 생긴다. $x>0$일 때 $e^{t}=x$의 $t$에 대한 해를 $x$의 자연로그라고 하며 $t=\log _{e}x$또는 간단히 $t=\ln x$로 쓴다. 자연로그함수는 다음과 같다. 이렇게 되면 초기의 값이 매시간 $e$의 배율로 증가하여 x배가 될 때까지 걸린 시간을 의미한다.

$g(x)=\ln x$

또한 자연로그함수는 자연지수함수의 역함수와 같은데, 자연지수함수의 정의역이 음수라면 자연로그함수의 정의역은 양의 실수($\mathbb {R} ^{++}$)이며 치역은 마찬가지로 모든 실수의 집합이다.

일변수 함수의 미분

극한과 연속

극한은 끊임없이 가까워지는 것을 뜻하며 $x$가 $a$에 끊임없이 가까워 지는 것을 $x\to a$로 나타낸다. 이때 $x$는 $a$를 향해 가까워지는 것이지 $x$가 $a$와 같다는 것은 아니다. 대신 $\lim$를 붙여 $\lim _{x\to a}$로 나타내는데 결국 $x$가 $a$와 같게 되었다고 보는 것이다. $x$가 $a$의 왼쪽에서 접근하는 것인지 오른쪽에서 접근하는 것인지를 나타낼 때는 $a$에 다음과 같은 기호를 붙여 표현할 수 있다. 항상 $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$는 아닌데, 이유는 우방극한값과 좌방극한값의 존재 때문이다.

$\lim _{x\to a+}$ : 오른쪽에서 접근할 때

$\lim _{x\to a-}$ : 왼쪽에서 접근할 때

함수가 연속되기 위해선 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다. 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f(x)$는 $a\leqq x\leqq b$ 또는 $[a,b]$에서 연속이라 하며 이 두 개를 폐구간이라고 부른다. 폐구간이란 두 $a$와 $b$를 포함하지 않는 구간을 뜻한다.

1. $f(x)$가 개구간 $a<x<b$에서 연속이다.
2. $\lim _{x\to a+}=f(a)$
3. $\lim _{x\to a-}=f(b)$

도함수

경제학에선 한계(marginal)라는 용어가 자주 사용된다. 한계효용, 한계비용, 한계수입 등의 한계라는 개념은 함수의 변화율에 해당된다.

두 점을 지나는 직선이 있다고 할 때 기울기는 가로 길이를 세로 길이에 나눈 값으로 약속한다. 이를 독립변수가 한 단위 증가할 때 함수값의 증가분이라고 말한다. 즉, 기울기는 독립변수의 변화에 따른 함수값의 평균변화율을 측정하는 개념이다. 이 평균변화율은 그래프 상의 두 점을 연결한 할선의 기울기와 같은데 직선의 경우 할선의 기울기가 어디서나 같다. 그런데 곡선의 경우에는 어느 지점에서 기울기를 재는지에 따라 평균변화율 또는 할선의 기울기가 달라진다. 따라서 곡선의 기울기는 접선의 기울기로 나타낼 수 있으며 할선 기울기의 극한으로 나타낼 수 있다. 이를 점 $a$에서의 함수 $f$의 미분 계수라 부르며, $f'(x)$라 쓴다.

$f'(x)=\lim _{n\to a}{f(x)-f(a) \over x-a}$

이 미분계수는 함수를 미분하는 것과 같은데, 이런 의미에서 도함수라 부른다. 도함수는 다음과 같이 나타내질 수 있다. 도함수를 구하는 것을 미분한다고 한다.

${dx \over dy}$, ${d \over dy}f(x)$, $y'$

미분법

미분법 문서를 참고하십시오.

미분법에는 대수함수의 미분법과 초월함수의 미분법이 있다. 경제학에서 자주 쓰이는 대수함수의 미분법에는 합성함수의 미분법, 역함수의 미분법, 매개변수로 표시된 함수의 미분법, 음함수의 미분법으로 나눌 수 있으며, 초월함수의 미분법에는 지수함수와 로그함수의 미분법, 삼각함수의 미분법, 역삼각함수의 미분법, 쌍곡선함수의 미분법이 있다. 여기에서는 간단히 경제학에서 어떻게 쓰이는지에 관한 내용만을 설명한다.

함수 $y=f(x)$가 주어졌을 때 탄력도 $e$(elastic)는 다음과 같이 정의된다. 아래에서 $\Delta y/y$ 또는 $y$는 종속변수 $y$의 변동률에 대해, $\Delta x/x$ 또는 $\Delta x$는 독립변수 $x$의 변동률에 대해 정의하고 있다. 이렇게 정의된 탄력도를 호탄력도(arc elastic)라고 부른다. 하지만 호탄력도는 함수 $f(x)$가 선형함수이면 ${\Delta y \over \Delta x}$의 값이 일정하지만 비선형함수인 경우 ${\Delta y \over \Delta x}$의 값이 독립변수 $x$의 값에 따라 변하게 되므로 일반적으로 호탄력도는 유일한 값이 되지 못하는 단점이 있다.

$e={\Delta y/y \over \Delta x/x}={\Delta y \over \Delta x}\cdot {x \over y}$

경제학에서는 이러한 단점에 대해 $\Delta x\to 0$일 때 ${\Delta y \over \Delta x}\cdot {x \over y}$의 극한값을 점탄력도(point elastic)라고 정의하는데, 점탄력도는 다음과 같이 정의한다. $\ln y$가 $\ln x$의 함수인 경우 연쇄법칙과 로그함수에 대한 미분법칙이 성립한다.

점탄력도

$e={dy \over dx}\cdot {x \over y}={d\ln y \over d\ln x}$

점탄력도의 미분

${d\ln y \over dx}={d\ln y \over d\ln x}{d\ln x \over dx}$

$e={dy \over dx}{1 \over y}={d\ln y \over d\ln x}{1 \over x}$

$e={d\ln y \over d\ln x}={dy \over dx}{x \over y}$

탄력도는 $\ln y$를 $\ln x$에 관해서 미분하면 얻을 수 있는데, 이 방법은 주어진 함수가 곱셈이나 나눗셈은 형태로 주어진 경우 탄력도를 구하는 데 자주 사용된다.

참고 자료

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