평행사변형과 타원의 정리

기하학에서, 평행사변형과 타원의 정리는 평행사변형의 마주보는 두 점을 초점으로 하고, 나머지 두 점을 지나는 타원을 그리고, 다른 두 마주보는 점에서도 똑같이 타원을 그렸을때, 평행사변형의 두 대각선의 연장선과 두 타원의 교점을 이은 도형은 직사각형이 된다는 정리이다.

정의

평행 사변형인 $\Box {\rm {ABCD}}$가 있다고 하면

$\bullet$ 점 A,C를 초점으로 하고 B를 지나는 타원을 K라 하자. 그리고 점 B,D를 초점으로 하고 C를 지나는 타원을 J라고 한다. 이때, 직선 AC와 K의 교점을 각각 A', C'이라 하고, 직선 BD와 J의 교점을 B',D'라 하면 $\Box {\rm {A'B'C'D'}}$은 직사각형이다.

위 명제가 성립한다.

증명

$\Box {\rm {A'B'C'D}}$가 직사각형이 되려면,

1) 직선 A'C'=직선 B'D'

2) OA'=OB'=OC"'=OD'(O는 두 평행사변형의 두 대각선의 교점)

위 두 명제를 만족시켜야 한다.

타원의 성질을 이용해, A'C'=AB+BC이다.

그런데, B'D'=AB+AD=AB+BC이므로, A'C'=B'D'이다.

1번 조건을 충족시켰다.

이때, $\Box {\rm {ABCD}}$는 평행사변형이므로, OA=OC이고, 타원의 성질에 의해 AA'=CC'이므로 OA'=OC'이다.

마찬가지로 OB=OD, BB'=DD' 이므로 OB'=OC'.

1번 조건에 의해 ${\frac {1}{2}}{\overline {\rm {A'C'}}}={\overline {\rm {OA'}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rm {B'D'}}}={\overline {\rm {OB'}}}$

따라서 OA'=OB'=OC'+OD'

2번 조건도 만족시켰다.

역사

2020년의 대한민국의 한 중학생이 발견한 것으로, 그의 블로그에 첨부되어 있다.

같이 보기

• 평행사변형
• 타원

링크

분류:기하학 분류:기하학에 관한 토막글 분류:기하학 정리

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